تفاوت دامنه (Domain) تابع (Function) و دامنه طبیعی (Natural Domain) تابع (Function)، در ریاضیات (Mathematics)
در کلید شماره 20042 ، مفهوم دامنه (Domain) تابع (Function) را شرح دادیم، اما اکنون می خواهیم مفهوم دامنه طبیعی (Natural Domain) تابع (Function) و تفاوت آن با دامنه (Domain) تابع (Function) را شرح دهیم.
ابتدا مفهوم دامنه (Domain) تابع (Function) را دوباره شرح می دهیم :
چنانچه تابع (Function) را به صورت نمادین زیر نمایش دهیم :
\[ y = f\left( x \right) \]
آنگاه می گوییم که تابع (Function) با نام f از یک مجموعه (Set) با نام D به مجموعه ای (Set) با نام Y ، قاعده ای است که عنصرهای منحصربفرد (Unique (Single) Element) به صورت $ f\left( x \right) \in Y $ را به هر عنصر (element) به صورت $ x \in D $ اختصاص می دهد.
مجموعه D شامل تمام مقادیر ورودی (Input Value) ممکن را دامنه (Domain) تابع (Function) می نامیم.
مجموعه (Set) تمام مقادیر خروجی (Output Value) به صورت $ f\left( x \right) $ بر اساس تغییرات x در سرتاسر D را برد (Range) تابع (Function) می نامیم.
خوب اکنون باید شرح دهیم که تفاوت دامنه طبیعی (Natural Domain) تابع (Function) با دامنه (Domain) تابع (Function) در چیست.
در تعریف یک تابع، این ما هستیم که عنصرهای مجموعه D که همان دامنه (Domain) تابع (Function) است را تعیین می کنیم (تعریف می کنیم). یعنی به عنوان مثال، تابع (Function) زیر را در نظر بگیرید :
\[ y = f\left( x \right) = \sqrt x \]ما به همراه عبارت بالا، تعریف می کنیم که برای این تابع (Function)، تنها x های بزرگتر از 4 مد نظرمان است :
\[ {x > 4} \]عبارت بالا را به شکل زیر نیز می توانیم نمایش بدهیم :
\[ \left\{ {x \ \ | \ \ x > 4} \right\} \]برای به دست آوردن دامنه (Domain) تابع (Function)، کل تعریف آن، یعنی هم فرمول تابع (Function) و هم مجموعه x های مجاز که برای تابع در نظر گرفته ایم، مد نظر قرار می گیرند :
\[ \eqalign{ & y = f\left( x \right) = \sqrt x \cr & \left\{ {x \ \ | \ \ x > 4} \right\} \cr} \]بنابراین دامنه (Domain) تابع (Function) عبارت است از :
\[ (4,\infty ) \]اما برای به دست آوردن دامنه طبیعی (Natural Domain) تابع (Function)، مجموعه x های مجاز که ما خودمان برای تابع (Function) تعریف کرده ایم، در نظر گرفته نمی شود، بلکه تنها فرمول تابع (Function) را بررسی می کنیم تا ببینیم که به صورت طبیعی، چه x هایی را به عنوان ورودی می تواند بپذیرد :
\[ y = f\left( x \right) = \sqrt x \]بنابراین به صورت طبیعی، چون عبارت زیر رادیکال (Radical) در فرمول تابع (Function)، باید بزرگتر و مساوی صفر باشد، بنابراین دامنه طبیعی (Natural Domain) تابع (Function) عبارت است از :
\[ [0,\infty ) \]مشاهده می کنید که با توجه به مفهوم متفاوت دامنه طبیعی (Natural Domain) تابع (Function) و دامنه (Domain) تابع (Function)، این دو برای تابعی که مثال زدیم، یکسان نیستند.
در کل برای هر تابع (Function) می توان گفت که دامنه طبیعی (Natural Domain) تابع (Function)، برابر است با بزرگترین مجموعه (Set) ممکن از اعداد حقیقی (Real Number) که تابع (Function) بتواند بپذیرد. آنگاه برای به دست آوردن دامنه (Domain) تابع (Function)، دو حالت داریم :
1- اگر خود ما، محدودیتی برای ورودی تابع (یعنی x) نگذاشته باشیم، آنگاه دامنه (Domain) تابع (Function)، برابر دامنه طبیعی (Natural Domain) تابع (Function) خواهد بود.
2- اگر خود ما، محدودیتی برای ورودی تابع (یعنی x) گذاشته باشیم، آنگاه دامنه (Domain) تابع (Function)، بر اساس محدودیت تعیین شده برای ورودی تابع (یعنی x) و همچنین با در نظر گرفتن دامنه طبیعی (Natural Domain) تابع (Function)، تعیین می شود.
