تمرین : انتگرال $ \int {{1 \over {x{\log _{10}}x}}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int {{1 \over {x{\log _{10}}x}}dx} \]حل تمرین :
می دانیم که ( کلید شماره 20002 ) :
\[ {\log _B}\left( A \right) = {{\ln \left( A \right)} \over {\ln \left( B \right)}} \]با توجه به نکته بالا :
\[ {\log _{10}}x = {{\ln x} \over {\ln 10}} \]بنابراین :
\[ \eqalign{ & \int {{1 \over {x{\log _{10}}x}}dx} = \int {{1 \over {x\left( {{{\ln x} \over {\ln 10}}} \right)}}dx} = \cr & = \ln 10\int {\left( {{1 \over {\ln x}}} \right)\left( {{1 \over x}} \right)dx} \cr} \]تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = \ln x \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10096 ) :
\[ {d \over {dy}}\left( {\ln y} \right) = {1 \over y} \]با توجه به نکته بالا :
\[ du = {1 \over x}dx \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \ln 10\int {\left( {{1 \over {\ln x}}} \right)\left( {{1 \over x}} \right)dx} = \ln 10\int {{1 \over u}du} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {{1 \over y}dy} = \ln \left| y \right| + C \]با توجه به نکته بالا :
\[ \ln 10\int {{1 \over u}du} = \ln 10\left( {\ln \left| u \right| + C} \right) = \left( {\ln 10} \right)\ln \left| u \right| + C \]اکنون عبارت معادل u را جایگذاری می کنیم :
\[ u = \ln x \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \left( {\ln 10} \right)\ln \left| u \right| + C = \left( {\ln 10} \right)\ln \left| {\ln x} \right| + C \]بنابراین :
\[ \int {{1 \over {x{\log _{10}}x}}dx} = \left( {\ln 10} \right)\ln \left| {\ln x} \right| + C \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 429
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 510
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10068
گزینه ها
نظرات 0 0 0