تمرین : انتگرال $ \int\limits_0^9 {{{2{\log _{10}}\left( {x + 1} \right)} \over {x + 1}}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_0^9 {{{2{\log _{10}}\left( {x + 1} \right)} \over {x + 1}}dx} \]حل تمرین :
می دانیم که ( کلید شماره 20002 ) :
\[ {\log _B}\left( A \right) = {{\ln \left( A \right)} \over {\ln \left( B \right)}} \]با توجه به نکته بالا :
\[ {\log _{10}}\left( {x + 1} \right) = {{\ln \left( {x + 1} \right)} \over {\ln 10}} \]بنابراین :
\[ \eqalign{ & \int\limits_0^9 {{{2{\log _{10}}\left( {x + 1} \right)} \over {x + 1}}dx} = \int\limits_0^9 {{{2\left( {{{\ln \left( {x + 1} \right)} \over {\ln 10}}} \right)} \over {x + 1}}dx} = \cr & = {2 \over {\ln 10}}\int\limits_0^9 {\ln \left( {x + 1} \right)\left( {{1 \over {x + 1}}} \right)dx} \cr} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {f\left( y \right){f^\prime }\left( y \right)dy} = {{{{\left( {f\left( y \right)} \right)}^2}} \over 2} \]حال در نظر می گیریم ( کلید شماره 10096 ) :
\[ f\left( y \right) = \ln \left( {y + 1} \right) \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {f^\prime }\left( y \right) = {1 \over {y + 1}} \]بنابراین :
\[ \int {{{\ln \left( {y + 1} \right)} \over {y + 1}}dy} = {{{{\left( {\ln \left( {y + 1} \right)} \right)}^2}} \over 2} \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & {2 \over {\ln 10}}\int\limits_0^9 {\ln \left( {x + 1} \right)\left( {{1 \over {x + 1}}} \right)dx} = {2 \over {\ln 10}}\left[ {{{{{\left( {\ln \left( {x + 1} \right)} \right)}^2}} \over 2}} \right]_{ 0}^{ 9} = \cr & = {2 \over {\ln 10}}\left[ {{{{{\left( {\ln 10} \right)}^2}} \over 2} - {{{{\left( {\ln 1} \right)}^2}} \over 2}} \right] \cr} \]می دانیم که ( کلید شماره 20003 ) :
\[ \ln 1 = 0 \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & {2 \over {\ln 10}}\left[ {{{{{\left( {\ln 10} \right)}^2}} \over 2} - {{{{\left( {\ln 1} \right)}^2}} \over 2}} \right] = {2 \over {\ln 10}}\left[ {{{{{\left( {\ln 10} \right)}^2}} \over 2} - {{{0^2}} \over 2}} \right] = \cr & = {2 \over {\ln 10}}\left[ {{{{{\left( {\ln 10} \right)}^2}} \over 2}} \right] = \ln 10 \cr} \]بنابراین :
\[ \int\limits_0^9 {{{2{\log _{10}}\left( {x + 1} \right)} \over {x + 1}}dx} = \ln 10 \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 510
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10066
گزینه ها
نظرات 0 0 0