تمرین : انتگرال $ \int\limits_{{1 \over {10}}}^{10} {{{{\log _{10}}\left( {10x} \right)} \over x}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_{{1 \over {10}}}^{10} {{{{\log _{10}}\left( {10x} \right)} \over x}dx} \]حل تمرین :
می دانیم که ( کلید شماره 20002 ) :
\[ {\log _B}\left( A \right) = {{\ln \left( A \right)} \over {\ln \left( B \right)}} \]با توجه به نکته بالا :
\[ {\log _{10}}\left( {10x} \right) = {{\ln \left( {10x} \right)} \over {\ln 10}} \]بنابراین :
\[ \eqalign{ & \int\limits_{{1 \over {10}}}^{10} {{{{\log _{10}}\left( {10x} \right)} \over x}dx} = \int\limits_{{1 \over {10}}}^{10} {{{{{\ln \left( {10x} \right)} \over {\ln 10}}} \over x}dx} = \cr & = {1 \over {\ln 10}}\int\limits_{{1 \over {10}}}^{10} {{{\ln \left( {10x} \right)} \over x}dx} \cr} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {f\left( y \right){f^\prime }\left( y \right)dy} = {{{{\left( {f\left( y \right)} \right)}^2}} \over 2} \]حال در نظر می گیریم ( کلید شماره 10096 ) :
\[ f\left( y \right) = \ln \left( {10y} \right) \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {f^\prime }\left( y \right) = {{10} \over {10y}} = {1 \over y} \]بنابراین :
\[ \int {{{\ln \left( {10y} \right)} \over y}dy} = {{{{\left( {\ln \left( {10y} \right)} \right)}^2}} \over 2} \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & {1 \over {\ln 10}}\int\limits_{{1 \over {10}}}^{10} {{{\ln \left( {10x} \right)} \over x}dx} = {1 \over {\ln 10}}\int\limits_{{1 \over {10}}}^{10} {\ln \left( {10x} \right)\left( {{1 \over x}} \right)dx} = \cr & = {1 \over {\ln 10}}\left[ {{{{{\left( {\ln \left( {10x} \right)} \right)}^2}} \over 2}} \right]_{ {1 \over {10}}}^{ 10} = {1 \over {\ln 10}}\left[ {{{{{\left( {\ln 100} \right)}^2}} \over 2} - {{{{\left( {\ln 1} \right)}^2}} \over 2}} \right] \cr} \]می دانیم که ( کلید شماره 20003 ) :
\[ \ln \left( {{a^n}} \right) = n\ln a \]بنابراین :
\[ \ln 100 = \ln \left( {{{10}^2}} \right) = 2\ln 10 \]می دانیم که ( کلید شماره 20003 ) :
\[ \ln 1 = 0 \]با توجه به نکته های بالا :
\[ \eqalign{ & {1 \over {\ln 10}}\left[ {{{{{\left( {\ln 100} \right)}^2}} \over 2} - {{{{\left( {\ln 1} \right)}^2}} \over 2}} \right] = {1 \over {\ln 10}}\left[ {{{{{\left( {2\ln 10} \right)}^2}} \over 2} - {{{0^2}} \over 2}} \right] = \cr & = {1 \over {\ln 10}}\left[ {{{4{{\left( {\ln 10} \right)}^2}} \over 2}} \right] = 2\ln 10 \cr} \]در نتیجه :
\[ \int\limits_{{1 \over {10}}}^{10} {{{{{\log }_{10}}\left( {10x} \right)} \over x}dx} = 2\ln 10 \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 510
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10065
گزینه ها
نظرات 0 0 0