تمرین : انتگرال $ \int\limits_0^2 {{{{\log _2}\left( {x + 2} \right)} \over {x + 2}}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_0^2 {{{{\log _2}\left( {x + 2} \right)} \over {x + 2}}dx} \]حل تمرین :
می دانیم که ( کلید شماره 20002 ) :
\[ {\log _B}\left( A \right) = {{\ln \left( A \right)} \over {\ln \left( B \right)}} \]با توجه به نکته بالا :
\[ {\log _2}\left( {x + 2} \right) = {{\ln \left( {x + 2} \right)} \over {\ln 2}} \]بنابراین :
\[ \eqalign{ & \int\limits_0^2 {{{{\log _2}\left( {x + 2} \right)} \over {x + 2}}dx} = \int\limits_0^2 {{{{{\ln \left( {x + 2} \right)} \over {\ln 2}}} \over {x + 2}}dx} = \cr & = {1 \over {\ln 2}}\int\limits_0^2 {{{\ln \left( {x + 2} \right)} \over {x + 2}}dx} \cr} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {f\left( y \right){f^\prime }\left( y \right)dy} = {{{{\left( {f\left( y \right)} \right)}^2}} \over 2} \]حال در نظر می گیریم ( کلید شماره 10096 ) :
\[ f\left( y \right) = \ln \left( {y + 2} \right) \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {f^\prime }\left( y \right) = {1 \over {y + 2}} \]بنابراین :
\[ \int {{{\ln \left( {y + 2} \right)} \over {y + 2}}dy} = {{{{\left( {\ln \left( {y + 2} \right)} \right)}^2}} \over 2} \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & {1 \over {\ln 2}}\int\limits_0^2 {{{\ln \left( {x + 2} \right)} \over {x + 2}}dx} = {1 \over {\ln 2}}\left[ {{{{{\left( {\ln \left( {x + 2} \right)} \right)}^2}} \over 2}} \right]_{ 0}^{ 2} = \cr & = {1 \over {\ln 2}}\left[ {{{{{\left( {\ln 4} \right)}^2}} \over 2} - {{{{\left( {\ln 2} \right)}^2}} \over 2}} \right] = {1 \over {2\ln 2}}\left[ {{{\left( {\ln 4} \right)}^2} - {{\left( {\ln 2} \right)}^2}} \right] \cr} \]می دانیم که ( کلید شماره 20003 ) :
\[ \ln \left( {{a^n}} \right) = n\ln a \]با توجه به نکته بالا :
\[ \ln 4 = \ln \left( {{2^2}} \right) = 2\ln 2 \]بنابراین :
\[ \eqalign{ & {1 \over {2\ln 2}}\left[ {{{\left( {\ln 4} \right)}^2} - {{\left( {\ln 2} \right)}^2}} \right] = {1 \over {2\ln 2}}\left[ {{{\left( {2\ln 2} \right)}^2} - {{\left( {\ln 2} \right)}^2}} \right] = \cr & = {1 \over {2\ln 2}}\left[ {4{{\left( {\ln 2} \right)}^2} - {{\left( {\ln 2} \right)}^2}} \right] = {{3{{\left( {\ln 2} \right)}^2}} \over {2\ln 2}} = {3 \over 2}\ln 2 \cr} \]در نتیجه :
\[ \int\limits_0^2 {{{{\log _2}\left( {x + 2} \right)} \over {x + 2}}dx} = {3 \over 2}\ln 2 \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 510
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10064
گزینه ها
نظرات 0 0 0