تمرین : انتگرال $ \int\limits_1^e {{{2\ln 10{\log _{10}}x} \over x}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_1^e {{{2\ln 10{\log _{10}}x} \over x}dx} \]حل تمرین :
می دانیم که ( کلید شماره 20002 ) :
\[ {\log _B}\left( A \right) = {{\ln \left( A \right)} \over {\ln \left( B \right)}} \]با توجه به نکته بالا :
\[ {\log _{10}}x = {{\ln x} \over {\ln 10}} \]بنابراین :
\[ \eqalign{ & \int\limits_1^e {{{2\ln 10{\log _{10}}x} \over x}dx} = \int\limits_1^e {{{2\ln 10\left( {{{\ln x} \over {\ln 10}}} \right)} \over x}dx} = \cr & = \int\limits_1^e {{{2\ln x} \over x}dx} \cr} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {f\left( y \right){f^\prime }\left( y \right)dy} = {{{{\left( {f\left( y \right)} \right)}^2}} \over 2} \]حال در نظر می گیریم ( کلید شماره 10096 ) :
\[ f\left( y \right) = \ln y \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {f^\prime }\left( y \right) = {1 \over y} \]بنابراین :
\[ \int {{{\ln y} \over y}dy} = {1 \over 2}{\left( {\ln y} \right)^2} \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & \int\limits_1^e {{{2\ln x} \over x}dx} = 2\left[ {{1 \over 2}{{\left( {\ln x} \right)}^2}} \right]_{ 1}^{ e} = \left[ {{{\left( {\ln x} \right)}^2}} \right]_{ 1}^{ e} = \cr & = {\left( {\ln e} \right)^2} - {\left( {\ln 1} \right)^2} \cr} \]می دانیم که ( کلید شماره 20003 ) :
\[ \eqalign{ & \ln e = 1 \cr & \ln 1 = 0 \cr} \]با توجه به نکته بالا :
\[ {\left( {\ln e} \right)^2} - {\left( {\ln 1} \right)^2} = {1^2} - {0^2} = 1 \]بنابراین :
\[ \int\limits_1^e {{{2\ln 10{\log _{10}}x} \over x}dx} = 1 \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 510
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10063
گزینه ها
نظرات 0 0 0