تمرین : انتگرال $\int\limits_1^4 {{{\ln 2{\log _2}x} \over x}dx}$ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)

تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :

$\int\limits_1^4 {{{\ln 2{\log _2}x} \over x}dx}$

حل تمرین :

نکته

می دانیم که ( آموزش شماره 20002 ) :

${\log _B}\left( A \right) = {{\ln \left( A \right)} \over {\ln \left( B \right)}}$

با توجه به نکته بالا :

${\log _2}x = {{\ln x} \over {\ln 2}}$

بنابراین :

$\int\limits_1^4 {{{\ln 2{\log _2}x} \over x}dx} = \int\limits_1^4 {{{\ln 2\left( {{{\ln x} \over {\ln 2}}} \right)} \over x}dx} = \int\limits_1^4 {{{\ln x} \over x}dx}$

نکته

برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( آموزش شماره 10084 ) :

$\int {f\left( y \right){f^\prime }\left( y \right)dy} = {{{{\left( {f\left( y \right)} \right)}^2}} \over 2}$

حال در نظر می گیریم ( آموزش شماره 10096 ) :

$f\left( y \right) = \ln y \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {f^\prime }\left( y \right) = {1 \over y}$

بنابراین :

$\int {{{\ln y} \over y}dy} = {1 \over 2}{\left( {\ln y} \right)^2}$

با توجه به نکته بالا :

$\int\limits_1^4 {{{\ln x} \over x}dx} = \left[ {{1 \over 2}{{\left( {\ln x} \right)}^2}} \right]_{ 1}^{ 4} = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {\ln 4} \right)}^2} - {{\left( {\ln 1} \right)}^2}} \right]$

نکته

می دانیم که ( آموزش شماره 20003 ) :

$\ln 1 = 0$

با توجه به نکته بالا :

${1 \over 2}\left[ {{{\left( {\ln 4} \right)}^2} - {{\left( {\ln 1} \right)}^2}} \right] = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {\ln 4} \right)}^2} - {0^2}} \right] = {1 \over 2}{\left( {\ln 4} \right)^2}$

نکته

می دانیم که ( آموزش شماره 20003 ) :