تمرین : انتگرال $ \int\limits_1^4 {{{\ln 2{\log _2}x} \over x}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_1^4 {{{\ln 2{\log _2}x} \over x}dx} \]حل تمرین :
می دانیم که ( کلید شماره 20002 ) :
\[ {\log _B}\left( A \right) = {{\ln \left( A \right)} \over {\ln \left( B \right)}} \]با توجه به نکته بالا :
\[ {\log _2}x = {{\ln x} \over {\ln 2}} \]بنابراین :
\[ \int\limits_1^4 {{{\ln 2{\log _2}x} \over x}dx} = \int\limits_1^4 {{{\ln 2\left( {{{\ln x} \over {\ln 2}}} \right)} \over x}dx} = \int\limits_1^4 {{{\ln x} \over x}dx} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {f\left( y \right){f^\prime }\left( y \right)dy} = {{{{\left( {f\left( y \right)} \right)}^2}} \over 2} \]حال در نظر می گیریم ( کلید شماره 10096 ) :
\[ f\left( y \right) = \ln y \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {f^\prime }\left( y \right) = {1 \over y} \]بنابراین :
\[ \int {{{\ln y} \over y}dy} = {1 \over 2}{\left( {\ln y} \right)^2} \]با توجه به نکته بالا :
\[ \int\limits_1^4 {{{\ln x} \over x}dx} = \left[ {{1 \over 2}{{\left( {\ln x} \right)}^2}} \right]_{ 1}^{ 4} = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {\ln 4} \right)}^2} - {{\left( {\ln 1} \right)}^2}} \right] \]می دانیم که ( کلید شماره 20003 ) :
\[ \ln 1 = 0 \]با توجه به نکته بالا :
\[ {1 \over 2}\left[ {{{\left( {\ln 4} \right)}^2} - {{\left( {\ln 1} \right)}^2}} \right] = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {\ln 4} \right)}^2} - {0^2}} \right] = {1 \over 2}{\left( {\ln 4} \right)^2} \]می دانیم که ( کلید شماره 20003 ) :
\[ \ln \left( {{a^n}} \right) = n\ln a \]با توجه به نکته بالا :
\[ \ln 4 = \ln \left( {{2^2}} \right) = 2\ln 2 \]بنابراین :
\[ {1 \over 2}{\left( {\ln 4} \right)^2} = {1 \over 2}{\left( {2\ln 2} \right)^2} = 2{\left( {\ln 2} \right)^2} \]در نتیجه :
\[ \int\limits_1^4 {{{\ln 2{\log _2}x} \over x}dx} = 2{\left( {\ln 2} \right)^2} \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 510
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10062
گزینه ها
نظرات 0 0 0