تمرین : انتگرال $ \int {{{{\log _{10}}x} \over x}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int {{{{\log _{10}}x} \over x}dx} \]حل تمرین :
می دانیم که ( کلید شماره 20002 ) :
\[ {\log _B}\left( A \right) = {{\ln \left( A \right)} \over {\ln \left( B \right)}} \]با توجه به نکته بالا :
\[ {\log _{10}}x = {{\ln x} \over {\ln 10}} \]بنابراین :
\[ \int {{{{\log _{10}}x} \over x}dx} = \int {\left( {{{\ln x} \over {\ln 10}}} \right)\left( {{1 \over x}} \right)dx} \]تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = \ln x \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10096 ) :
\[ {d \over {dy}}\left( {\ln y} \right) = {1 \over y} \]با توجه به نکته بالا :
\[ du = {1 \over x}dx \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \eqalign{ & \int {\left( {{{\ln x} \over {\ln 10}}} \right)\left( {{1 \over x}} \right)dx} = {1 \over {\ln 10}}\int {udu = } \cr & = {1 \over {\ln 10}}\left( {{1 \over 2}{u^2}} \right) + C = {{{u^2}} \over {2\ln 10}} + C \cr} \]اکنون عبارت معادل u را جایگذاری می کنیم :
\[ u = \ln x \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {{{u^2}} \over {2\ln 10}} + C = {{{{\left( {\ln x} \right)}^2}} \over {2\ln 10}} + C \]بنابراین :
\[ \int {{{{\log _{10}}x} \over x}dx} = {{{{\left( {\ln x} \right)}^2}} \over {2\ln 10}} + C \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 509
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10060
گزینه ها
نظرات 0 0 0