بازه های اعداد (Interval)

خط مربوط به اعداد حقیقی را در نظر بگیرید :

بر روی این خط، دو عدد a و b را انتخاب می کنیم ( $ a < b $ می باشد). تمام اعداد حقیقی بین a و b در خط بین a و b قرار گرفته اند. حال بر اساس آن می توانیم انواع بازه ها را تعریف کنیم.

انواع بازه ها :

بازه ها را به دو دسته کلی می توانیم تقسیم کنیم :

بازه های متناهی (بازه های کراندار)، در دو سمت به دو عدد a و b محدود می شوند و دارای طول مشخصی می باشند، ولی بازه های نامتناهی (بازه های بیکران) از یک سمت و یا از دو سمت، تا بینهایت می روند و بنابراین طول مشخصی ندارند.

بازه های متناهی (بازه های کراندار) :

بازه های متناهی (بازه های کراندار)، در دو سمت به دو عدد a و b محدود می شوند و دارای طول مشخصی می باشند.

انواع بازه های متناهی (بازه های کراندار) عبارتند از :

1- بازه بسته $ \left[ {a,b} \right] $ :

مجموعه شامل همه اعداد حقیقی بین a و b و همچنین خود نقاط انتهایی a و b را یک ((بازه بسته)) می نامیم و با $ \left[ {a,b} \right] $ نمایش می دهیم.

مجموعه مورد نظر را به صورت زیر نیز می توانیم بیان کنیم :

\[ \left\{ {x: \quad a \le x \le b} \right\} \]

و بر روی خط اعداد حقیقی، به این صورت نمایش می دهیم (داخل نقاط a و b پر شده است به این معنی که بازه شامل خود نقاط a و b نیز می باشد) :

2- بازه باز $ \left( {a,b} \right) $ :

مجموعه شامل همه اعداد حقیقی بین a و b ، به جز خود نقاط انتهایی a و b را یک ((بازه باز)) می نامیم و با $ \left( {a,b} \right) $ نمایش می دهیم.

مجموعه مورد نظر را به صورت زیر نیز می توانیم بیان کنیم :

\[ \left\{ {x: \quad a < x < b} \right\} \]

و بر روی خط اعداد حقیقی، به این صورت نمایش می دهیم (داخل نقاط a و b خالی است و پر نشده، به این معنی که بازه شامل خود نقاط a و b نمی باشد) :

3- بازه نیمباز $ \left[ {a,b} \right) $ :

مجموعه شامل همه اعداد حقیقی بین a و b و همچنین شامل خود نقطه انتهایی a ، به جز نقطه انتهایی b را یک ((بازه نیمباز)) می نامیم و با $ \left[ {a,b} \right) $ نمایش می دهیم.

مجموعه مورد نظر را به صورت زیر نیز می توانیم بیان کنیم :

\[ \left\{ {x: \quad a \le x < b} \right\} \]

و بر روی خط اعداد حقیقی، به این صورت نمایش می دهیم (داخل نقطه a پر شده و داخل نقطه b خالی است به این معنی که بازه شامل خود نقطه a می باشد ولی شامل خود نقطه b نیست) :

4- بازه نیمباز $ \left( {a,b} \right] $ :

مجموعه شامل همه اعداد حقیقی بین a و b ، به جز نقطه انتهایی a و همچنین شامل نقطه انتهایی b را یک ((بازه نیمباز)) می نامیم و با $ \left( {a,b} \right] $ نمایش می دهیم.

مجموعه مورد نظر را به صورت زیر نیز می توانیم بیان کنیم :

\[ \left\{ {x: \quad a < x \le b} \right\} \]

و بر روی خط اعداد حقیقی، به این صورت نمایش می دهیم (داخل نقطه a خالی است و داخل نقطه b پر شده، به این معنی که بازه شامل خود نقطه a نیست ولی شامل خود نقطه b می باشد) :

بازه های نامتناهی (بازه های بیکران) :

بازه های نامتناهی (بازه های بیکران) از یک سمت و یا از دو سمت، تا بینهایت می روند و بنابراین طول مشخصی ندارند.

برای شرح انواع بازه های نامتناهی (بازه های بیکران)، عدد c را بر روی خط اعداد حقیقی در نظر می گیریم :

انواع بازه های نامتناهی (بازه های بیکران) عبارتند از :

1- بازه بسته $ \left[ {c,\infty } \right) $ :

مجموعه شامل همه اعداد حقیقی بین c تا مثبت بینهایت ( $ \infty $ ) که شامل خود عدد c نیز می باشد را یک ((بازه بسته)) می نامیم و با $ \left[ {c,\infty } \right) $ نمایش می دهیم.

مجموعه مورد نظر را به دو صورت زیر نیز می توانیم بیان کنیم :

\[ c \le x < \infty \] \[ \left\{ {x: \quad x \ge c} \right\} \]

و بر روی خط اعداد حقیقی، به این صورت نمایش می دهیم (داخل نقطه c پر شده است، به این معنی که بازه شامل خود نقطه c نیز می باشد) :

2- بازه بسته $ \left( { - \infty ,c} \right] $ :

مجموعه شامل همه اعداد حقیقی بین c تا منفی بینهایت ( $ { - \infty } $ ) که شامل خود عدد c نیز می باشد را یک ((بازه بسته)) می نامیم و با $ \left( { - \infty ,c} \right] $ نمایش می دهیم.

مجموعه مورد نظر را به دو صورت زیر نیز می توانیم بیان کنیم :

\[ - \infty < x \le c \] \[ \left\{ {x: \quad x \le c} \right\} \]

و بر روی خط اعداد حقیقی، به این صورت نمایش می دهیم (داخل نقطه c پر شده است، به این معنی که بازه شامل خود نقطه c نیز می باشد) :

3- بازه باز $ \left( {c,\infty } \right) $ :

مجموعه شامل همه اعداد حقیقی بین c تا مثبت بینهایت ( $ \infty $ ) به جز خود عدد c را یک ((بازه باز)) می نامیم و با $ \left( {c,\infty } \right) $ نمایش می دهیم.

مجموعه مورد نظر را به دو صورت زیر نیز می توانیم بیان کنیم :

\[ c < x < \infty \] \[ \left\{ {x: \quad x > c} \right\} \]

و بر روی خط اعداد حقیقی، به این صورت نمایش می دهیم (داخل نقطه c خالی است و پر نشده، به این معنی که بازه شامل خود نقطه c نمی باشد) :

4- بازه باز $ \left( { - \infty ,c} \right) $ :

مجموعه شامل همه اعداد حقیقی بین c تا منفی بینهایت ( $ { - \infty } $ ) به جز خود عدد c را یک ((بازه باز)) می نامیم و با $ \left( { - \infty ,c} \right) $ نمایش می دهیم.

مجموعه مورد نظر را به دو صورت زیر نیز می توانیم بیان کنیم :

\[ - \infty < x < c \] \[ \left\{ {x: \quad x < c} \right\} \]

و بر روی خط اعداد حقیقی، به این صورت نمایش می دهیم (داخل نقطه c خالی است و پر نشده، به این معنی که بازه شامل خود نقطه c نمی باشد) :

5- بازه باز $ \left( { - \infty ,\infty } \right) $ :

مجموعه شامل همه اعداد حقیقی بین منفی بینهایت ( $ { - \infty } $ ) تا مثبت بینهایت ( $ \infty $ ) را یک ((بازه باز)) می نامیم و با $ \left( { - \infty ,\infty } \right) $ نمایش می دهیم.

مجموعه مورد نظر را به صورت زیر نیز می توانیم بیان کنیم :

\[ - \infty < x < \infty \]

این مجموعه شامل کل خط اعداد حقیقی می باشد و آن را بر روی خط اعداد حقیقی به این صورت نمایش می دهیم :