اعداد برنولی (Bernoulli Numbers)

چند جمله ای های برنولی (Bernoulli polynomials) به صورت زیر تعریف می شوند :

\[ \frac{{x{e^{xt}}}}{{{e^x} - 1}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{C_n}(t)\frac{{{x^n}}}{{n!}}} \quad\quad\quad \left| x \right| < 2\pi \]

اگر در فرمول بالا، مقدار $ t=0 $ و $ {B_n} = {( - 1)^{n - 1}}{C_{2n}}(0) $ را قرار بدهیم، عبارت زیر حاصل می شود :

\[ \begin{array}{l} \frac{x}{{{e^x} - 1}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{C_n}(0)\frac{{{x^n}}}{{n!}}} \\ \quad\quad\quad = 1 - \frac{x}{2} + \frac{{{B_1}{x^2}}}{{2!}} - \frac{{{B_2}{x^4}}}{{4!}} + \frac{{{B_3}{x^6}}}{{6!}} - ... \quad\quad\quad \left| x \right| < 2\pi \end{array} \]

که در آن :

\[ \begin{array}{l} {B_1} = \frac{1}{6}, \quad\quad {B_2} = \frac{1}{{30}}, \quad\quad {B_3} = \frac{1}{{42}}, \quad\quad {B_4} = \frac{1}{{30}}, \\ {B_5} = \frac{5}{{66}}, \quad\quad {B_6} = \frac{{691}}{{2730}}, \quad\quad ... \end{array} \]

این اعداد $ B_n $ ، اعداد برنولی (Bernoulli Numbers) نامیده می شوند.