سری های (series) معادل برای توابع مثلثاتی (Trigonometric functions)

در این مبحث، سری های (series) معادل برای توابع مثلثاتی (Trigonometric functions) را ذکر می کنیم.

بسط سری تیلور (Taylor Series Expansion) برای توابع مثلثاتی (Trigonometric Functions) :

\[ \sin x = x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} - \frac{{{x^7}}}{{7!}} + ... \quad\quad\quad - \infty < x < \infty \]

\[ \cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} - \frac{{{x^6}}}{{6!}} + ... \quad\quad\quad - \infty < x < \infty \]

\[ \begin{array}{l} \tan x = x + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{2{x^5}}}{{15}} + \frac{{17{x^7}}}{{315}} + \frac{{62{x^9}}}{{2835}} + ...\\ \quad\quad\quad + \frac{{{2^{2n}}({2^{2n}} - 1){B_n}{x^{2n - 1}}}}{{(2n)!}} + ... \quad\quad\quad \left| x \right| < \frac{\pi }{2} \end{array} \]

در فرمول بالا، $ B_n $ برابر اعداد برنولی (Bernoulli Numbers) می باشد.

\[ \begin{array}{l} \sec x = 1 + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{5{x^4}}}{{24}} + \frac{{61{x^6}}}{{720}} + ...\\ \quad\quad\quad + \frac{{{E_n}{x^{2n}}}}{{(2n)!}} + ... \quad\quad\quad \left| x \right| < \frac{\pi }{2} \end{array} \]

در فرمول بالا، $ E_n $ برابر اعداد اویلر (Euler Numbers) می باشد.

\[ \begin{array}{l} \csc x = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \frac{{7{x^3}}}{{360}} + \frac{{31{x^5}}}{{15120}} + ...\\ \quad\quad\quad + \frac{{2({2^{2n - 1}} - 1){B_n}{x^{2n - 1}}}}{{(2n)!}} + ... \quad\quad\quad 0 < \left| x \right| < \pi \end{array} \]

در فرمول بالا، $ B_n $ برابر اعداد برنولی (Bernoulli Numbers) می باشد.

\[ \begin{array}{l} \cot x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{{{x^3}}}{{45}} - \frac{{2{x^5}}}{{945}} - ...\\ \quad\quad\quad - \frac{{{2^{2n}}{B_n}{x^{2n - 1}}}}{{(2n)!}} - ... \quad\quad\quad 0 < \left| x \right| < \pi \end{array} \]

در فرمول بالا، $ B_n $ برابر اعداد برنولی (Bernoulli Numbers) می باشد.