سری لوران (Laurent series)

فرض کنید که تابع $ f(z) $ در ناحیه حلقه ای (annular region) بین دو دایره $ K_1 $ و $ K_2 $ که متحدالمرکز (concentric circles) هستند و دارای مرکز $ z=a $ و شعاع های $ r_1 $ و $ r_2 $ می باشند ($ r_1 < r_2 $)، تحلیلی (analytic) باشد، آنگاه یک سری منحصربفرد (unique) از بسط جملات با توان های مثبت و منفی از $ (z-a) $ وجود دارد که به صورت زیر می باشد :

\[ f(z) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{a_k}{{(z - a)}^k}} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{b_k}{{(z - a)}^{ - k}}} \]

که در آن :

\[ \begin{array}{l} {a_k} = \frac{1}{{2\pi i}}\oint\limits_{{K_1}} {\frac{{f(\zeta )d\zeta }}{{{{(\zeta - a)}^{k + 1}}}}} \\ {b_k} = \frac{1}{{2\pi i}}\oint\limits_{{K_2}} {{{(\zeta - a)}^{k - 1}}f(\zeta )} d\zeta \end{array} \]