ماتریس متقارن (Symmetric Matrix)
اگر ماتریسی (Matrix) با نام A داشته باشیم، به گونه ای که ماتریس A با ماتریس ترانهاده اش (یعنی $ A^T $ ) یکسان باشد :
\[ {A^T} = A \]آنگاه می گوییم که ماتریس A یک ماتریس متقارن (Symmetric Matrix) است.
در یک ماتریس متقارن (Symmetric Matrix)، درایه های ماتریس نسبت به قطر اصلی، متقارن می باشند.
توضیحات دقیقتر :
آرایه ای از اعداد را به صورت زیر در نظر بگیرید : *
\[ A = \left[ {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{12}}} & {{a_{13}}} & {...} & {{a_{1n}}} \cr {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & {{a_{23}}} & {...} & {{a_{2n}}} \cr \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr {{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & {{a_{m3}}} & {...} & {{a_{mn}}} \cr } } \right] \]این آرایه اعداد، یک ماتریس $ m \times n $ نامیده می شود که دارای m سطر (row) و n ستون (column) می باشد.
درایه $ {a_{ij}} $ به عضوی (element) اشاره دارد که در سطر i ام و ستون j ام از ماتریس قرار گرفته است. *
برای به دست آوردن ترانهاده (Transpose) یک ماتریس، باید جای ردیف ها (row) و ستون های (column) آن را با هم عوض کنیم. اگر ماتریس مورد نظرمان دارای نام $ A $ باشد، آنگاه ترانهاده آن را با نماد $ A^T $ نمایش می دهیم. *
بنابراین ماتریس ترانهاده $ A^T $ دارای عضوهای $ {b_{ij}} = {a_{ji}} $ می باشد و مرتبه (order) آن برابر $ n \times m $ خواهد بود : *
\[ {A^T} = \left[ {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{21}}} & {{a_{31}}} & \ldots & {{a_{m1}}} \cr {{a_{12}}} & {{a_{22}}} & {{a_{32}}} & \ldots & {{a_{m2}}} \cr {{a_{13}}} & {{a_{23}}} & {{a_{33}}} & \ldots & {{a_{m3}}} \cr \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr {{a_{1n}}} & {{a_{2n}}} & {{a_{3n}}} & \ldots & {{a_{mn}}} \cr } } \right] \]چنانچه رابطه زیر برقرار باشد :
\[ {A^T} = A \]آنگاه $ {a_{ij}} = {a_{ji}} $ خواهد بود و عضوهای ماتریس A نسبت به قطر، تقارن خواهند داشت. در این حالت، ماتریس A را یک ماتریس متقارن (Symmetric Matrix) می نامند. *
