تمرین : نشان دهید که تابع $ y = {1 \over {\sqrt {1 + {x^4}} }}\int\limits_1^x {\sqrt {1 + {t^4}} dt} $ یک پاسخ معادله دیفرانسیل $ {y^\prime } + {{2{x^3}} \over {1 + {x^4}}}y = 1 $ می باشد
تمرین : نشان دهید که تابع (Function) زیر :
\[ y = {1 \over {\sqrt {1 + {x^4}} }}\int\limits_1^x {\sqrt {1 + {t^4}} dt} \]یک پاسخ (Solution) معادله دیفرانسیل (Differential Equation) زیر می باشد :
\[ {y^\prime } + {{2{x^3}} \over {1 + {x^4}}}y = 1 \]حل تمرین :
برای اثبات، باید معادل عبارت زیر را برای آن تابع (Function) به دست آوریم :
\[ {y^\prime } + {{2{x^3}} \over {1 + {x^4}}}y = ? \]ابتدا $ {y^\prime } $ را برای تابع (Function) به دست می آوریم :
\[ y = {1 \over {\sqrt {1 + {x^4}} }}\int\limits_1^x {\sqrt {1 + {t^4}} dt} \]برای مشتق گرفتن از عبارت بالا، از نکته زیر استفاده می کنیم :
چنانچه f و g ، توابعی از متغیر z باشد، آنگاه ( کلید شماره 10094 ) :
\[ {\left( {f\left( z \right)g\left( z \right)} \right)^\prime } = {f^\prime }\left( z \right)g\left( z \right) + f\left( z \right){g^\prime }\left( z \right) \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & {\left( {{1 \over {\sqrt {1 + {x^4}} }}} \right)^\prime } = {\left( {{{\left( {1 + {x^4}} \right)}^{ - {1 \over 2}}}} \right)^\prime } = \cr & = - {1 \over 2}\left( {4{x^3}} \right){\left( {1 + {x^4}} \right)^{ - {1 \over 2} - 1}} = - 2{x^3}{\left( {1 + {x^4}} \right)^{ - {3 \over 2}}} = \cr & = - 2{x^3}\left( {{1 \over {{{\left( {\sqrt {1 + {x^4}} } \right)}^3}}}} \right) = {{ - 2{x^3}} \over {{{\left( {\sqrt {1 + {x^4}} } \right)}^3}}} \cr} \] \[ {\left( {\int\limits_1^x {\sqrt {1 + {t^4}} dt} } \right)^\prime } = \sqrt {1 + {x^4}} \]بنابراین :
\[ \eqalign{ & y = {1 \over {\sqrt {1 + {x^4}} }}\int\limits_1^x {\sqrt {1 + {t^4}} dt} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ {y^\prime } = \left( {{{ - 2{x^3}} \over {{{\left( {\sqrt {1 + {x^4}} } \right)}^3}}}} \right)\left( {\int\limits_1^x {\sqrt {1 + {t^4}} dt} } \right) + \left( {{1 \over {\sqrt {1 + {x^4}} }}} \right)\left( {\sqrt {1 + {x^4}} } \right) \cr & \Rightarrow \ \ \ \ {y^\prime } = {{ - 2{x^3}} \over {{{\left( {\sqrt {1 + {x^4}} } \right)}^3}}}\int\limits_1^x {\sqrt {1 + {t^4}} dt} + 1 \cr} \]اکنون معادل عبارت زیر را به دست می آوریم :
\[ {y^\prime } + {{2{x^3}} \over {1 + {x^4}}}y = ? \]بنابراین :
\[ \eqalign{ & \Rightarrow \ \ \ \ {y^\prime } + {{2{x^3}} \over {1 + {x^4}}}y = {{ - 2{x^3}} \over {{{\left( {\sqrt {1 + {x^4}} } \right)}^3}}}\int\limits_1^x {\sqrt {1 + {t^4}} dt} + 1 \cr & + \left( {{{2{x^3}} \over {1 + {x^4}}}} \right)\left( {{1 \over {\sqrt {1 + {x^4}} }}\int\limits_1^x {\sqrt {1 + {t^4}} dt} } \right) = \cr & = {{ - 2{x^3}} \over {{{\left( {\sqrt {1 + {x^4}} } \right)}^3}}}\int\limits_1^x {\sqrt {1 + {t^4}} dt} + 1 + {{2{x^3}} \over {{{\left( {\sqrt {1 + {x^4}} } \right)}^3}}}\int\limits_1^x {\sqrt {1 + {t^4}} dt} = \cr & = 1 \cr & \Rightarrow \ \ \ \ {y^\prime } + {{2{x^3}} \over {1 + {x^4}}}y = 1 \cr} \]بنابراین تابع (Function) مورد نظر، یک پاسخ (Solution) معادله دیفرانسیل (Differential Equation) ذکر شده می باشد.
1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 437
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 515
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10083
گزینه ها
نظرات 0 0 0