تمرین : نشان دهید که تابع $ y = {1 \over x}\int\limits_1^x {{{{e^t}} \over t}dt} $ یک پاسخ معادله دیفرانسیل $ {x^2}{y^\prime } + xy = {e^x} $ می باشد
تمرین : نشان دهید که تابع (Function) زیر :
\[ y = {1 \over x}\int\limits_1^x {{{{e^t}} \over t}dt} \]یک پاسخ (Solution) معادله دیفرانسیل (Differential Equation) زیر می باشد :
\[ {x^2}{y^\prime } + xy = {e^x} \]حل تمرین :
برای اثبات، باید معادل عبارت زیر را برای آن تابع (Function) به دست آوریم :
\[ {x^2}{y^\prime } + xy = ? \]برای این منظور، ابتدا $ {y^\prime } $ را برای تابع (Function) به دست می آوریم :
\[ y = {1 \over x}\int\limits_1^x {{{{e^t}} \over t}dt} \]برای مشتق گرفتن از عبارت بالا، از نکته زیر استفاده می کنیم :
چنانچه f و g ، توابعی از متغیر z باشد، آنگاه ( آموزش شماره 10094 ) :
\[ {\left( {f\left( z \right)g\left( z \right)} \right)^\prime } = {f^\prime }\left( z \right)g\left( z \right) + f\left( z \right){g^\prime }\left( z \right) \]با توجه به نکته بالا :
\[ y = {1 \over x}\int\limits_1^x {{{{e^t}} \over t}dt} = \left( {{1 \over x}} \right)\left( {\int\limits_1^x {{{{e^t}} \over t}dt} } \right) \]و همچنین می دانیم که :
\[ {\left( {{1 \over x}} \right)^\prime } = - {1 \over {{x^2}}} \] \[ {\left( {\int\limits_1^x {{{{e^t}} \over t}dt} } \right)^\prime } = {{{e^x}} \over x} \]بنابراین :
\[ \eqalign{ & \Rightarrow \ \ \ \ {y^\prime } = \left( { - {1 \over {{x^2}}}} \right)\left( {\int\limits_1^x {{{{e^t}} \over t}dt} } \right) + \left( {{1 \over x}} \right)\left( {{{{e^x}} \over x}} \right) \cr & \Rightarrow \ \ \ \ {y^\prime } = {1 \over {{x^2}}}\left( { - \int\limits_1^x {{{{e^t}} \over t}dt} + {e^x}} \right) \cr} \]اکنون معادل عبارت مورد نظر را به دست می آوریم :
\[ \eqalign{ & {x^2}{y^\prime } + xy = {x^2}\left[ {{1 \over {{x^2}}}\left( { - \int\limits_1^x {{{{e^t}} \over t}dt} + {e^x}} \right)} \right] + x\left[ {{1 \over x}\int\limits_1^x {{{{e^t}} \over t}dt} } \right] = \cr & = - \int\limits_1^x {{{{e^t}} \over t}dt} + {e^x} + \int\limits_1^x {{{{e^t}} \over t}dt} = {e^x} \cr & \Rightarrow \ \ \ \ {x^2}{y^\prime } + xy = {e^x} \cr} \]بنابراین تابع (Function) مورد نظر، یک پاسخ (Solution) معادله دیفرانسیل (Differential Equation) ذکر شده می باشد.
1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 437
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 515
نویسنده علیرضا گلمکانی
شماره کلید 10082
گزینه ها 
نظرات 0 0 0