تمرین : نشان دهید که تابع $ y = - {1 \over {x + c}} $ یک پاسخ معادله دیفرانسیل $ {y^\prime } = {y^2} $ می باشد
تمرین : نشان دهید که تابع (Function) زیر :
\[ y = - {1 \over {x + c}} \]یک پاسخ (Solution) معادله دیفرانسیل (Differential Equation) زیر می باشد :
\[ {y^\prime } = {y^2} \]حل تمرین :
ابتدا معادله دیفرانسیل (Differential Equation) را به صورت زیر می نویسیم :
\[ {y^\prime } = {y^2} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {y^\prime } - {y^2} = 0 \]اکنون برای اثبات، باید معادل عبارت زیر را برای آن تابع (Function) به دست آوریم :
\[ {y^\prime } - {y^2} = ? \]ابتدا $ {y^\prime } $ را برای تابع (Function) به دست می آوریم :
\[ y = - {1 \over {x + c}} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {y^\prime } = {1 \over {{{\left( {x + c} \right)}^2}}} \]عبارت بالا را بر اساس نکته زیر به دست آورده ایم :
چنانچه f تابعی از متغیر x باشد، آنگاه ( کلید شماره 10094 ) :
\[ {d \over {dx}}\left( {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^n}} \right) = n{f^\prime }\left( x \right){\left( {f\left( x \right)} \right)^{n - 1}} \]یعنی به صورت زیر :
\[ \eqalign{ & \Rightarrow \ \ \ \ {\left( { - {1 \over {x + c}}} \right)^\prime } = {\left( { - {{\left( {x + c} \right)}^{ - 1}}} \right)^\prime } = \cr & = - \left( { - 1} \right){\left( {x + c} \right)^{ - 1 - 1}} = {\left( {x + c} \right)^{ - 2}} = {1 \over {{{\left( {x + c} \right)}^2}}} \cr} \]اکنون معادل عبارت زیر را حساب می کنیم :
\[ \eqalign{ & {y^\prime } - {y^2} = {1 \over {{{\left( {x + c} \right)}^2}}} - {\left( { - {1 \over {x + c}}} \right)^2} = \cr & = {1 \over {{{\left( {x + c} \right)}^2}}} - {1 \over {{{\left( {x + c} \right)}^2}}} = 0 \cr & \Rightarrow \ \ \ \ {y^\prime } - {y^2} = 0 \cr} \]بنابراین تابع (Function) مورد نظر، یک پاسخ (Solution) معادله دیفرانسیل (Differential Equation) ذکر شده می باشد.
1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 437
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 515
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10081
گزینه ها
نظرات 0 0 0