تمرین : نشان دهید که تابع $ y = - {1 \over x} $ یک پاسخ معادله دیفرانسیل $ {y^\prime } = {y^2} $ می باشد
تمرین : نشان دهید که تابع (Function) زیر :
\[ y = - {1 \over x} \]یک پاسخ (Solution) معادله دیفرانسیل (Differential Equation) زیر می باشد :
\[ {y^\prime } = {y^2} \]حل تمرین :
معادله دیفرانسیل (Differential Equation) زیر را داریم :
\[ {y^\prime } = {y^2} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {y^\prime } - {y^2} = 0 \]پس برای اثبات، باید معادل عبارت زیر را برای آن تابع (Function) به دست آوریم :
\[ {y^\prime } - {y^2} = ? \]می نویسیم :
\[ y = - {1 \over x} = - {x^{ - 1}} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( کلید شماره 10094 ) :
\[ {\left( {{z^n}} \right)^\prime } = n{z^{n - 1}} \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & \Rightarrow \ \ \ \ {y^\prime } = {\left( { - {x^{ - 1}}} \right)^\prime } = - {\left( {{x^{ - 1}}} \right)^\prime } = - \left( { - {x^{ - 1 - 1}}} \right) = {x^{ - 2}} = {1 \over {{x^2}}} \cr & \Rightarrow \ \ \ \ {y^\prime } = {1 \over {{x^2}}} \cr} \]اکنون معادل عبارت $ {y^\prime } - {y^2} $ را به دست می آوریم :
\[ \eqalign{ & {y^\prime } - {y^2} = {1 \over {{x^2}}} - {\left( { - {1 \over x}} \right)^2} = {1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{x^2}}} = 0 \cr & \Rightarrow \ \ \ \ {y^\prime } - {y^2} = 0 \cr} \]بنابراین تابع (Function) مورد نظر، یک پاسخ (Solution) معادله دیفرانسیل (Differential Equation) ذکر شده می باشد.
1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 437
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 515
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10079
گزینه ها
نظرات 0 0 0