تمرین : مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) به صورت $ {{{d^2}y} \over {d{x^2}}} = {\sec ^2}x $ و $ \left\{ {\matrix{ {y\left( 0 \right) = 0} \cr {{y^\prime }\left( 0 \right) = 1} \cr } } \right. $ را حل کنید
تمرین : مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) زیر را حل کنید :
\[ {{{d^2}y} \over {d{x^2}}} = {\sec ^2}x \] \[ \left\{ {\matrix{ {y\left( 0 \right) = 0} \cr {{y^\prime }\left( 0 \right) = 1} \cr } } \right. \]حل تمرین :
\[ {{{d^2}y} \over {d{x^2}}} = {\sec ^2}x \]از طرفین معادله، انتگرال (Integral) می گیریم :
\[ {{dy} \over {dx}} = \int {{{\sec }^2}x dx} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( کلید شماره 10090 ) :
\[ \int {{{\sec }^2}z dz} = \tan z + C \]با توجه به نکته بالا :
\[ {{dy} \over {dx}} = \int {{{\sec }^2}x dx} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {{dy} \over {dx}} = \tan x + C \]برای محاسبه مقدار C ، شرط مقدار اولیه (Initial Value) زیر را بررسی می کنیم :
\[ \left. {\matrix{ {{y^\prime }\left( 0 \right) = 1} \cr {{{dy} \over {dx}} = \tan x + C} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ 1 = \tan \left( 0 \right) + C \]می دانیم که :
\[ \tan \left( 0 \right) = 0 \]با توجه به نکته بالا :
\[ 1 = \tan \left( 0 \right) + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 1 = 0 + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ C = 1 \]در نتیجه :
\[ \left. {\matrix{ {{{dy} \over {dx}} = \tan x + C} \cr {C = 1} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ {{dy} \over {dx}} = \tan x + 1 \]از طرفین معادله، انتگرال (Integral) می گیریم :
\[ \eqalign{ & {{dy} \over {dx}} = \tan x + 1 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ dy = \left( {\tan x + 1} \right)dx \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ \int {dy} = \int {\left( {\tan x + 1} \right)dx} \cr} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {dz} = z + C \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( کلید شماره 10090 ) :
\[ \int {\tan z dz} = \ln \left| {\sec z} \right| + C \]با توجه به نکته های بالا :
\[ \int {dy} = \int {\left( {\tan x + 1} \right)dx} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ y = \ln \left| {\sec x} \right| + x + {C_1} \]برای محاسبه مقدار $ {C_1} $ ، شرط مقدار اولیه (Initial Value) زیر را بررسی می کنیم :
\[ \left. {\matrix{ {y\left( 0 \right) = 0} \cr {y = \ln \left| {\sec x} \right| + x + {C_1}} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ 0 = \ln \left| {\sec \left( 0 \right)} \right| + 0 + {C_1} \]می دانیم که :
\[ \left. {\matrix{ {\sec \left( 0 \right) = 1} \cr {\ln \left( 1 \right) = 0} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ \ln \left| {\sec \left( 0 \right)} \right| = 0 \]با توجه به نکته بالا :
\[ 0 = \ln \left| {\sec \left( 0 \right)} \right| + 0 + {C_1} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 0 = 0 + 0 + {C_1} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {C_1} = 0 \]بنابراین :
\[ \left. {\matrix{ {y = \ln \left| {\sec x} \right| + x + {C_1}} \cr {{C_1} = 0} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ y = \ln \left| {\sec x} \right| + x \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 429
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 511
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10075
گزینه ها
نظرات 0 0 0