تمرین : مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) به صورت $ {{dy} \over {dx}} = 1 + {1 \over x} $ و $ y\left( 1 \right) = 3 $ را حل کنید
تمرین : مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) زیر را حل کنید :
\[ {{dy} \over {dx}} = 1 + {1 \over x} \] \[ y\left( 1 \right) = 3 \]حل تمرین :
\[ {{dy} \over {dx}} = 1 + {1 \over x} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ dy = \left( {1 + {1 \over x}} \right)dx \]از طرفین معادله، انتگرال (Integral) می گیریم :
\[ \int {dy} = \int {\left( {1 + {1 \over x}} \right)dx} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( آموزش شماره 10084 ) :
\[ \int {dz} = z + C \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( آموزش شماره 10084 ) :
\[ \int {{1 \over z}dz} = \ln \left| z \right| + C \]با توجه به نکته های بالا :
\[ \int {dy} = \int {\left( {1 + {1 \over x}} \right)dx} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ y = x + \ln \left| x \right| + C \]اکنون برای محاسبه مقدار C ، شرط مقدار اولیه (Initial Value) زیر را بررسی می کنیم :
\[ \eqalign{ & \left. {\matrix{ {y\left( 1 \right) = 3} \cr {y = x + \ln \left| x \right| + C} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ 3 = 1 + \ln \left| 1 \right| + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ 3 = 1 + \ln 1 + C \cr} \]می دانیم که ( آموزش شماره 20003 ) :
\[ \ln 1 = 0 \]با توجه به نکته بالا :
\[ 3 = 1 + \ln 1 + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 3 = 1 + 0 + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ C = 2 \]بنابراین :
\[ \left. {\matrix{ {y = x + \ln \left| x \right| + C} \cr {C = 2} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ y = x + \ln \left| x \right| + 2 \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 429
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 511
نویسنده علیرضا گلمکانی
شماره کلید 10074
گزینه ها 
نظرات 0 0 0