تمرین : مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) به صورت ${{{d^2}y} \over {d{x^2}}} = 1 - {e^{2x}}$ و $\left\{ {\matrix{ {y\left( 1 \right) = - 1} \cr {{y^\prime }\left( 1 \right) = 0} \cr } } \right.$ را حل کنید

تمرین : مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) زیر را حل کنید :

${{{d^2}y} \over {d{x^2}}} = 1 - {e^{2x}}$

$\left\{ {\matrix{ {y\left( 1 \right) = - 1} \cr {{y^\prime }\left( 1 \right) = 0} \cr } } \right.$

حل تمرین :

${{{d^2}y} \over {d{x^2}}} = 1 - {e^{2x}}$

از طرفین معادله، انتگرال (Integral) می گیریم :

${{dy} \over {dx}} = \int {\left( {1 - {e^{2x}}} \right)dx}$

نکته

برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( آموزش شماره 10084 ) :

$\int {dz = z + C}$

نکته

برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( آموزش شماره 10089 ) :

$\int {{e^{2z}}dz} = {1 \over 2}{e^{2z}} + C$

با توجه به نکته های بالا :

${{dy} \over {dx}} = \int {\left( {1 - {e^{2x}}} \right)dx} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {{dy} \over {dx}} = x - {1 \over 2}{e^{2x}} + C$

برای محاسبه مقدار C ، شرط مقدار اولیه (Initial Value) زیر را بررسی می کنیم :

$\eqalign{ & \left. {\matrix{ {{y^\prime }\left( 1 \right) = 0} \cr {{{dy} \over {dx}} = x - {1 \over 2}{e^{2x}} + C} \cr } } \right\} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 0 = 1 - {1 \over 2}{e^2} + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ C = {1 \over 2}{e^2} - 1 \cr}$

بنابراین :

${{dy} \over {dx}} = x - {1 \over 2}{e^{2x}} + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {{dy} \over {dx}} = x - {1 \over 2}{e^{2x}} + {1 \over 2}{e^2} - 1$

اکنون از طرفین معادله، انتگرال (Integral) می گیریم :

$\eqalign{ & {{dy} \over {dx}} = x - {1 \over 2}{e^{2x}} + {1 \over 2}{e^2} - 1 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ dy = \left( {x - {1 \over 2}{e^{2x}} + {1 \over 2}{e^2} - 1} \right)dx \cr & \Rightarrow \ \ \ \ \int {dy} = \int {\left( {x - {1 \over 2}{e^{2x}} + {1 \over 2}{e^2} - 1} \right)dx} \cr}$

نکته

برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( آموزش شماره 10084 ) :

$\int {dz} = z + C$

نکته

برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( آموزش شماره 10084 ) :

$\int {z dz} = {1 \over 2}{z^2} + C$

نکته

برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( آموزش شماره 10089 ) :

$\int {{e^{2z}}dz} = {1 \over 2}{e^{2z}} + C$

با توجه به نکته های بالا :

$\Rightarrow \ \ \ \ y = {1 \over 2}{x^2} - {1 \over 4}{e^{2x}} + \left( {{1 \over 2}{e^2} - 1} \right)x + {C_1}$

برای محاسبه مقدار ${C_1}$ ، شرط مقدار اولیه (Initial Value) زیر را بررسی می کنیم :

$\eqalign{ & \left. {\matrix{ {y\left( 1 \right) = - 1} \cr {y = {1 \over 2}{x^2} - {1 \over 4}{e^{2x}} + \left( {{1 \over 2}{e^2} - 1} \right)x + {C_1}} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ - 1 = {1 \over 2} - {1 \over 4}{e^2} + \left( {{1 \over 2}{e^2} - 1} \right) + {C_1} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ - {1 \over 2} = {1 \over 4}{e^2} + {C_1} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {C_1} = - {1 \over 2} - {1 \over 4}{e^2} \cr}$

بنابراین :

$\eqalign{ & y = {1 \over 2}{x^2} - {1 \over 4}{e^{2x}} + \left( {{1 \over 2}{e^2} - 1} \right)x + {C_1} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ y = {1 \over 2}{x^2} - {1 \over 4}{e^{2x}} + \left( {{1 \over 2}{e^2} - 1} \right)x + - \left( {{1 \over 2} + {1 \over 4}{e^2}} \right) \cr}$

منابع و لینک های مفید

Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 429

Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 511

دسته بندی حل تمرین : معادلات دیفرانسیل (Differential Equation)، در ریاضیات (Mathematics)

نویسنده علیرضا گلمکانی

شماره کلید 10073

گزینه ها

به اشتراک گذاری (Share) در شبکه های اجتماعی

FaceBook Twitter Digg Reddit LinkedIn Pinterest StumbleUpon

نظرات 0 0 0

ارسال نظر جدید (بدون نیاز به عضو بودن در وب سایت)