تمرین : مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) به صورت $ {{{d^2}y} \over {d{x^2}}} = 2{e^{ - x}} $ و $ \left\{ {\matrix{ {y\left( 0 \right) = 1} \cr {{y^\prime }\left( 0 \right) = 0} \cr } } \right. $ را حل کنید
تمرین : مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) زیر را حل کنید :
\[ {{{d^2}y} \over {d{x^2}}} = 2{e^{ - x}} \] \[ \left\{ {\matrix{ {y\left( 0 \right) = 1} \cr {{y^\prime }\left( 0 \right) = 0} \cr } } \right. \]حل تمرین :
\[ {{{d^2}y} \over {d{x^2}}} = 2{e^{ - x}} \]از طرفین معادله، انتگرال (Integral) می گیریم :
\[ {{dy} \over {dx}} = \int {2{e^{ - x}}dx} = - 2{e^{ - x}} + C \] \[ {{dy} \over {dx}} = - 2{e^{ - x}} + C \]که در آن، از نکته زیر استفاده شده است :
برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( کلید شماره 10089 ) :
\[ \int {{e^{ - z}}dz} = - {e^{ - z}} + C \]برای محاسبه مقدار C ، شرط مقدار اولیه (Initial Value) زیر را بررسی می کنیم :
\[ \eqalign{ & \left. {\matrix{ {{y^\prime }\left( 0 \right) = 0} \cr {{{dy} \over {dx}} = - 2{e^{ - x}} + C} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ 0 = - 2{e^0} + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ 0 = - 2 + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ C = 2 \cr} \]بنابراین :
\[ {{dy} \over {dx}} = - 2{e^{ - x}} + 2 \]اکنون از طرفین معادله، انتگرال (Integral) می گیریم :
\[ \eqalign{ & {{dy} \over {dx}} = - 2{e^{ - x}} + 2 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ dy = \left( { - 2{e^{ - x}} + 2} \right)dx \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ \int {dy} = \int {\left( { - 2{e^{ - x}} + 2} \right)dx} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ y = 2{e^{ - x}} + 2x + {C_1} \cr} \]برای محاسبه مقدار $ {C_1} $ ، شرط مقدار اولیه (Initial Value) زیر را بررسی می کنیم :
\[ \eqalign{ & \left. {\matrix{ {y\left( 0 \right) = 1} \cr {y = 2{e^{ - x}} + 2x + {C_1}} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ 1 = 2{e^0} + 2\left( 0 \right) + {C_1} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ 1 = 2 + {C_1} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {C_1} = - 1 \cr} \]در نتیجه :
\[ \eqalign{ & y = 2{e^{ - x}} + 2x + {C_1} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ y = 2{e^{ - x}} + 2x - 1 \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ y = 2\left( {{e^{ - x}} + x} \right) - 1 \cr} \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 429
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 511
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10072
گزینه ها
نظرات 0 0 0