تمرین : مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) به صورت $ {{dy} \over {dx}} = {e^{ - x}}{\sec ^2}\left( {\pi {e^{ - x}}} \right) $ و $ y\left( {\ln 4} \right) = {2 \over \pi } $ را حل کنید
تمرین : مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) زیر را حل کنید :
\[ {{dy} \over {dx}} = {e^{ - x}}{\sec ^2}\left( {\pi {e^{ - x}}} \right) \] \[ y\left( {\ln 4} \right) = {2 \over \pi } \]حل تمرین :
\[ {{dy} \over {dx}} = {e^{ - x}}{\sec ^2}\left( {\pi {e^{ - x}}} \right) \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ dy = {e^{ - x}}{\sec ^2}\left( {\pi {e^{ - x}}} \right)dx \]
از طرفین معادله، انتگرال (Integral) می گیریم :
\[ \int {dy} = \int {{e^{ - x}}{{\sec }^2}\left( {\pi {e^{ - x}}} \right)dx} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ y = \int {{e^{ - x}}{{\sec }^2}\left( {\pi {e^{ - x}}} \right)dx} \]تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = \pi {e^{ - x}} \]بنابراین :
\[ du = - \pi {e^{ - x}}dx \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ - {1 \over \pi }du = {e^{ - x}}dx \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \eqalign{ & \left. {\matrix{ {u = \pi {e^{ - x}}} \cr { - {1 \over \pi }du = {e^{ - x}}dx} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ y = \int {{e^{ - x}}{{\sec }^2}\left( {\pi {e^{ - x}}} \right)dx} = - {1 \over \pi }\int {{{\sec }^2}u du} \cr & \Rightarrow \ \ \ \ y = - {1 \over \pi }\int {{{\sec }^2}u du} \cr} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( کلید شماره 10090 ) :
\[ \int {{{\sec }^2}z dz} = \tan z + C \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & y = - {1 \over \pi }\int {{{\sec }^2}u du} = - {1 \over \pi }\left( {\tan u + C} \right) \cr & \Rightarrow \ \ \ \ y = - {1 \over \pi }\tan u + C \cr} \]اکنون عبارت معادل u را جایگذاری می کنیم :
\[ \eqalign{ & u = \pi {e^{ - x}} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ y = - {1 \over \pi }\tan u + C = - {1 \over \pi }\tan \left( {\pi {e^{ - x}}} \right) + C \cr & \Rightarrow \ \ \ \ y = - {1 \over \pi }\tan \left( {\pi {e^{ - x}}} \right) + C \cr} \]حال شرط مقدار اولیه (Initial Value) را بررسی می کنیم :
\[ y\left( {\ln 4} \right) = {2 \over \pi } \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {2 \over \pi } = - {1 \over \pi }\tan \left( {\pi {e^{ - \ln 4}}} \right) + C \]می دانیم که ( کلید شماره 20004 ) :
\[ {e^{ - \ln A}} = {1 \over {{e^{\ln A}}}} = {1 \over A} \]با توجه به نکته بالا :
\[ {e^{ - \ln 4}} = {1 \over 4} \]بنابراین :
\[ {2 \over \pi } = - {1 \over \pi }\tan \left( {\pi {e^{ - \ln 4}}} \right) + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {2 \over \pi } = - {1 \over \pi }\tan \left( {{\pi \over 4}} \right) \]می دانیم که :
\[ \tan \left( {{\pi \over 4}} \right) = 1 \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & {2 \over \pi } = - {1 \over \pi }\tan \left( {{\pi \over 4}} \right) + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {2 \over \pi } = - {1 \over \pi }\left( 1 \right) + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \cr & \Rightarrow \ \ \ \ {2 \over \pi } + {1 \over \pi } = C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ C = {3 \over \pi } \cr} \]بنابراین :
\[ \left. {\matrix{ {y = - {1 \over \pi }\tan \left( {\pi {e^{ - x}}} \right) + C} \cr {C = {3 \over \pi }} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ y = {3 \over \pi } - {1 \over \pi }\tan \left( {\pi {e^{ - x}}} \right) \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 429
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 510
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10071
گزینه ها
نظرات 0 0 0