تمرین : مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) به صورت $ {{dy} \over {dx}} = {e^x}\sin \left( {{e^x} - 2} \right) $ و $ y\left( {\ln 2} \right) = 0 $ را حل کنید
تمرین : مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) زیر را حل کنید :
\[ {{dy} \over {dx}} = {e^x}\sin \left( {{e^x} - 2} \right) \] \[ y\left( {\ln 2} \right) = 0 \]حل تمرین :
\[ {{dy} \over {dx}} = {e^x}\sin \left( {{e^x} - 2} \right) \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ dy = {e^x}\sin \left( {{e^x} - 2} \right)dx \]از طرفین معادله، انتگرال (Integral) می گیریم :
\[ \int {dy} = \int {{e^x}\sin \left( {{e^x} - 2} \right)dx} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ y = \int {{e^x}\sin \left( {{e^x} - 2} \right)dx} \]تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = {e^x} - 2 \]بنابراین :
\[ du = {e^x}dx \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ y = \int {\sin u du} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه z داریم ( کلید شماره 10090 ) :
\[ \int {\sin z dz} = - \cos z + C \]با توجه به نکته بالا :
\[ y = \int {\sin u du} = - \cos u + C \]اکنون عبارت معادل u را جایگذاری می کنیم :
\[ \eqalign{ & u = {e^x} - 2 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ y = - \cos u + C = - \cos \left( {{e^x} - 2} \right) + C \cr & \Rightarrow \ \ \ \ y = - \cos \left( {{e^x} - 2} \right) + C \cr} \]حال شرط مقدار اولیه (Initial Value) را بررسی می کنیم :
\[ \left. {\matrix{ {y\left( {\ln 2} \right) = 0} \cr {y = - \cos \left( {{e^x} - 2} \right) + C} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ 0 = - \cos \left( {{e^{\ln 2}} - 2} \right) + C \]می دانیم که ( کلید شماره 20004 ) :
\[ {e^{\ln A}} = A \]با توجه به نکته بالا :
\[ {e^{\ln 2}} = 2 \]بنابراین :
\[ \eqalign{ & 0 = - \cos \left( {{e^{\ln 2}} - 2} \right) + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 0 = - \cos \left( {2 - 2} \right) + C \cr & \Rightarrow \ \ \ \ 0 = - \cos \left( 0 \right) + C \cr} \]می دانیم که :
\[ \cos \left( 0 \right) = 1 \]با توجه به نکته بالا :
\[ 0 = - \cos \left( 0 \right) + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 0 = - 1 + C \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ C = 1 \]بنابراین :
\[ \left. {\matrix{ {y = - \cos \left( {{e^x} - 2} \right) + C} \cr {C = 1} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ y = 1 - \cos \left( {{e^x} - 2} \right) \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 429
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 510
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10070
گزینه ها
نظرات 0 0 0