تمرین : انتگرال $ \int\limits_1^2 {{{{2^{\ln x}}} \over x}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_1^2 {{{{2^{\ln x}}} \over x}dx} \]حل تمرین :
تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = \ln x \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10096 ) :
\[ {d \over {dy}}\left( {\ln y} \right) = {1 \over y} \]با توجه به نکته بالا :
\[ du = {1 \over x}dx \]با توجه به تغییر متغیر (Change of Variables)، حدود جدید انتگرال (Integral) را به دست می آوریم :
\[ u = \ln x \ \ \ \ \Rightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 1 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = \ln 1 = 0} \cr {x = 2 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = \ln 2} \cr } } \right. \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) و همچنین حدود جدید انتگرال (Integral) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \int\limits_1^2 {{{{2^{\ln x}}} \over x}dx} = \int\limits_0^{\ln 2} {{2^u}du} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {{a^y}dy} = {{{a^y}} \over {\ln a}} + C \ \ \ \ \left( {a > 0,a \ne 1} \right) \]بنابراین :
\[ \int {{2^y}dy} = {{{2^y}} \over {\ln 2}} + C \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & \int\limits_0^{\ln 2} {{2^u}du} = \left[ {{{{2^u}} \over { \ln 2}}} \right]_{ 0}^{ \ln 2} = {{{2^{ \ln 2}}} \over { \ln 2}} - {{{2^0}} \over { \ln 2}} = \cr & = {{{2^{ \ln 2}} - 1} \over { \ln 2}} \cr} \]بنابراین :
\[ \int\limits_1^2 {{{{2^{\ln x}}} \over x}dx} = {{{2^{ \ln 2}} - 1} \over { \ln 2}} \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 509
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10057
گزینه ها
نظرات 0 0 0