تمرین : انتگرال $ \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\left( {{1 \over 3}} \right)}^{\tan x}}{{\sec }^2}x dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\left( {{1 \over 3}} \right)}^{\tan x}}{{\sec }^2}x dx} \]حل تمرین :
تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = \tan x \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10095 ) :
\[ {d \over {dy}}\left( {\tan y} \right) = {\sec ^2}y \]با توجه به نکته بالا :
\[ du = {\sec ^2}x dx \]با توجه به تغییر متغیر (Change of Variables)، حدود جدید انتگرال (Integral) را به دست می آوریم :
\[ u = \tan x \ \ \ \ \Rightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 0 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = \tan \left( 0 \right) = 0} \cr {x = {\pi \over 4} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = \tan \left( {{\pi \over 4}} \right) = 1} \cr } } \right. \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) و همچنین حدود جدید انتگرال (Integral) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\left( {{1 \over 3}} \right)}^{\tan x}}{{\sec }^2}x dx} = \int\limits_0^1 {{{\left( {{1 \over 3}} \right)}^u}du} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {{a^y}dy} = {{{a^y}} \over {\ln a}} + C \ \ \ \ \left( {a > 0,a \ne 1} \right) \]بنابراین :
\[ \int {{{\left( {{1 \over 3}} \right)}^y}dy} = {{{{\left( {{1 \over 3}} \right)}^y}} \over {\ln \left( {{1 \over 3}} \right)}} + C \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & \int\limits_0^1 {{{\left( {{1 \over 3}} \right)}^u}du} = \left[ {{{{{\left( {{1 \over 3}} \right)}^u}} \over {\ln \left( {{1 \over 3}} \right)}}} \right]_{ 0}^{ 1} = {{{1 \over 3}} \over {\ln \left( {{1 \over 3}} \right)}} - {1 \over {\ln \left( {{1 \over 3}} \right)}} = \cr & = {{{1 \over 3} - 1} \over {\ln \left( {{1 \over 3}} \right)}} = {{ - {2 \over 3}} \over {\ln \left( {{1 \over 3}} \right)}} \cr} \]می دانیم که ( کلید شماره 20003 ) :
\[ \ln \left( {{A \over B}} \right) = \ln A - \ln B \]با توجه به نکته بالا :
\[ {{ - {2 \over 3}} \over {\ln \left( {{1 \over 3}} \right)}} = {{ - {2 \over 3}} \over {\ln 1 - \ln 3}} \]می دانیم که ( کلید شماره 20003 ) :
\[ \ln 1 = 0 \]با توجه به نکته بالا :
\[ {{ - {2 \over 3}} \over {\ln 1 - \ln 3}} = {{ - {2 \over 3}} \over {0 - \ln 3}} = {2 \over {3\ln 3}} \]بنابراین :
\[ \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\left( {{1 \over 3}} \right)}^{\tan x}}{{\sec }^2}x dx} = {2 \over {3\ln 3}} \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 509
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10055
گزینه ها
نظرات 0 0 0