تمرین : انتگرال $ \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{7^{\cos x}}\sin x dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{7^{\cos x}}\sin x dx} \]حل تمرین :
تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = \cos x \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10095 ) :
\[ {d \over {dy}}\left( {\cos y} \right) = - \sin y \]با توجه به نکته بالا :
\[ du = - \sin x dx \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ - du = \sin x dx \]با توجه به تغییر متغیر (Change of Variables)، حدود جدید انتگرال (Integral) را به دست می آوریم :
\[ \left\{ {\matrix{ {x = 0 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = \cos \left( 0 \right) = 1} \cr {x = {\pi \over 2} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = \cos \left( {{\pi \over 2}} \right) = 0} \cr } } \right. \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) و همچنین حدود جدید انتگرال (Integral) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{7^{\cos x}}\sin x dx} = - \int\limits_1^0 {{7^u}du} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {{a^y}dy} = {{{a^y}} \over {\ln a}} + C \ \ \ \ \left( {a > 0,a \ne 1} \right) \]بنابراین :
\[ \int {{7^y}dy} = {{{7^y}} \over {\ln 7}} + C \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & - \int\limits_1^0 {{7^u}du} = - \left[ {{{{7^u}} \over {\ln 7}}} \right]_{ 1}^{ 0} = - \left[ {{{{7^0}} \over {\ln 7}} - {{{7^1}} \over {\ln 7}}} \right] = \cr & = - \left[ {{1 \over {\ln 7}} - {7 \over {\ln 7}}} \right] = - \left[ { - {6 \over {\ln 7}}} \right] = {6 \over {\ln 7}} \cr} \]بنابراین :
\[ \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{7^{\cos x}}\sin x dx} = {6 \over {\ln 7}} \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 509
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10054
گزینه ها
نظرات 0 0 0