تمرین : انتگرال $ \int\limits_1^4 {{{{2^{\sqrt x }}} \over {\sqrt x }}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_1^4 {{{{2^{\sqrt x }}} \over {\sqrt x }}dx} \]حل تمرین :
تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = \sqrt x = {x^{{1 \over 2}}} \]بنابراین :
\[ du = {1 \over 2}{x^{ - {1 \over 2}}}dx \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 2du = {1 \over {\sqrt x }}dx \]با توجه به تغییر متغیر (Change of Variables)، حدود جدید انتگرال (Integral) را به دست می آوریم :
\[ u = \sqrt x \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \left\{ {\matrix{ {x = 1 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = 1} \cr {x = 4 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = 2} \cr } } \right. \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) و همچنین حدود جدید انتگرال (Integral) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \int\limits_1^4 {{{{2^{\sqrt x }}} \over {\sqrt x }}dx} = 2\int\limits_1^2 {{2^u}du} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {{a^y}dy} = {{{a^y}} \over {\ln a}} + C \ \ \ \ \left( {a > 0,a \ne 1} \right) \]بنابراین :
\[ \int {{2^y}dy} = {{{2^y}} \over {\ln 2}} + C \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & 2\int\limits_1^2 {{2^u}du} = 2\left[ {{{{2^u}} \over {\ln 2}}} \right]_{ 1}^{ 2} = 2\left[ {{{{2^2}} \over {\ln 2}} - {{{2^1}} \over {\ln 2}}} \right] = \cr & = 2\left[ {{{4 - 2} \over {\ln 2}}} \right] = {4 \over {\ln 2}} \cr} \]بنابراین :
\[ \int\limits_1^4 {{{{2^{\sqrt x }}} \over {\sqrt x }}dx} = {4 \over {\ln 2}} \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 509
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10053
گزینه ها
نظرات 0 0 0