تمرین : انتگرال $ \int\limits_1^{\sqrt 2 } {x{2^{\left( {{x^2}} \right)}}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_1^{\sqrt 2 } {x{2^{\left( {{x^2}} \right)}}dx} \]حل تمرین :
تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = {x^2} \]بنابراین :
\[ du = 2x dx \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {1 \over 2}du = x dx \]با توجه به تغییر متغیر (Change of Variables)، حدود جدید انتگرال (Integral) را به دست می آوریم :
\[ \left\{ {\matrix{ {x = 1 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = 1} \cr {x = \sqrt 2 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = 2} \cr } } \right. \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) و همچنین حدود جدید انتگرال (Integral) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \int\limits_1^{\sqrt 2 } {x{2^{\left( {{x^2}} \right)}}dx} = {1 \over 2}\int\limits_1^2 {{2^u}du} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {{a^y}dy} = {{{a^y}} \over {\ln a}} + C \ \ \ \ \left( {a > 0,a \ne 1} \right) \]بنابراین :
\[ \int {{2^y}dy} = {{{2^y}} \over {\ln 2}} + C \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & {1 \over 2}\int\limits_1^2 {{2^u}du} = {1 \over 2}\left[ {{{{2^u}} \over {\ln 2}}} \right]_{ 1}^{ 2} = {1 \over 2}\left[ {{{{2^2}} \over {\ln 2}} - {{{2^1}} \over {\ln 2}}} \right] = \cr & = {1 \over 2}{{4 - 2} \over {\ln 2}} = {1 \over {\ln 2}} \cr} \]بنابراین :
\[ \int\limits_1^{\sqrt 2 } {x{2^{\left( {{x^2}} \right)}}dx} = {1 \over {\ln 2}} \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 509
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10052
گزینه ها
نظرات 0 0 0