تمرین : انتگرال $ \int\limits_0^1 {{2^{ - x}}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_0^1 {{2^{ - x}}dx} \]حل تمرین :
\[ \eqalign{ & {2^{ - x}} = {1 \over {{2^x}}} = {\left( {{1 \over 2}} \right)^x} \cr & \Rightarrow \ \ \ \ \int\limits_0^1 {{2^{ - x}}dx} = \int\limits_0^1 {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^x}dx} \cr} \]
برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( آموزش شماره 10084 ) :
\[ \int {{a^y}dy} = {{{a^y}} \over {\ln a}} + C \ \ \ \ \left( {a > 0 , a \ne 1} \right) \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & \int\limits_0^1 {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^x}dx} = \left[ {{{{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^x}} \over {\ln \left( {{1 \over 2}} \right)}}} \right]_0^1 = {{{1 \over 2}} \over {\ln \left( {{1 \over 2}} \right)}} - {1 \over {\ln \left( {{1 \over 2}} \right)}} = \cr & = - {{{1 \over 2}} \over {\ln \left( {{1 \over 2}} \right)}} = - {1 \over {2\ln \left( {{1 \over 2}} \right)}} \cr} \]می دانیم که ( آموزش شماره 20003 ) :
\[ \ln \left( {{A \over B}} \right) = \ln A - \ln B \]با توجه به نکته بالا :
\[ - {1 \over {2\ln \left( {{1 \over 2}} \right)}} = - {1 \over {2\left( {\ln 1 - \ln 2} \right)}} \]می دانیم که ( آموزش شماره 20003 ) :
\[ \ln 1 = 0 \]با توجه به نکته بالا :
\[ - {1 \over {2\left( {\ln 1 - \ln 2} \right)}} = - {1 \over {2\left( {0 - \ln 2} \right)}} = {1 \over {2\ln 2}} \]بنابراین :
\[ \int\limits_0^1 {{2^{ - x}}dx} = {1 \over {2\ln 2}} \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 508
نویسنده علیرضا گلمکانی
شماره کلید 10050
گزینه ها 
نظرات 0 0 0