تمرین : انتگرال $ \int\limits_0^{\sqrt {\ln \pi } } {2x{e^{{x^2}}}\cos \left( {{e^{{x^2}}}} \right)dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_0^{\sqrt {\ln \pi } } {2x{e^{{x^2}}}\cos \left( {{e^{{x^2}}}} \right)dx} \]حل تمرین :
تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = {e^{{x^2}}} \]بنابراین :
\[ du = 2x{e^{{x^2}}}dx \]با توجه به تغییر متغیر (Change of Variables)، حدود جدید انتگرال (Integral) را به دست می آوریم :
\[ \left\{ {\matrix{ {x = 0 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = {e^0} = 1} \cr {x = \sqrt {\ln \pi } \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = {e^{\ln \pi }} = \pi } \cr } } \right. \]در روابط بالا، از نکته زیر استفاده کرده ایم :
می دانیم که ( کلید شماره 20004 ) :
\[ {e^{\ln A}} = A \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) و همچنین حدود جدید انتگرال (Integral) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \int\limits_0^{\sqrt {\ln \pi } } {2x{e^{{x^2}}}\cos \left( {{e^{{x^2}}}} \right)dx} = \int\limits_1^\pi {\cos u du} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10090 ) :
\[ \int {\cos y dy} = \sin y + C \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & \int\limits_1^\pi {\cos u du} = \left[ {\sin u} \right]_1^\pi = \sin \left( \pi \right) - \sin \left( 1 \right) = \cr & \simeq 0 - 0.84147 \simeq - 0.84147 \cr} \]بنابراین :
\[ \int\limits_0^{\sqrt {\ln \pi } } {2x{e^{{x^2}}}\cos \left( {{e^{{x^2}}}} \right)dx} \simeq - 0.84147 \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 508
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10047
گزینه ها
نظرات 0 0 0