تمرین : انتگرال $ \int\limits_{\ln \left( {{\pi \over 6}} \right)}^{\ln \left( {{\pi \over 2}} \right)} {2{e^x}\cos {e^x}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_{\ln \left( {{\pi \over 6}} \right)}^{\ln \left( {{\pi \over 2}} \right)} {2{e^x}\cos {e^x}dx} \]حل تمرین :
تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = {e^x} \]بنابراین :
\[ du = {e^x}dx \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 2du = 2{e^x}dx \]با توجه به این تغییر متغیر (Change of Variables)، برای حدود انتگرال (Integral) داریم :
\[ \left\{ {\matrix{ {x = \ln \left( {{\pi \over 6}} \right) \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = {e^{\ln \left( {{\pi \over 6}} \right)}} = {\pi \over 6}} \cr {x = \ln \left( {{\pi \over 2}} \right) \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = {e^{\ln \left( {{\pi \over 2}} \right)}} = {\pi \over 2}} \cr } } \right. \]در روابط بالا، از نکته زیر استفاده کرده ایم :
می دانیم که ( کلید شماره 20004 ) :
\[ {e^{\ln A}} = A \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) و همچنین حدود جدید انتگرال (Integral) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \int\limits_{\ln \left( {{\pi \over 6}} \right)}^{\ln \left( {{\pi \over 2}} \right)} {2{e^x}\cos {e^x}dx} = 2\int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {\cos u du} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10090 ) :
\[ \int {\cos y dy} = \sin y + C \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & 2\int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {\cos u du} = 2\left[ {\sin u} \right]_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} = 2\left[ {\sin \left( {{\pi \over 2}} \right) - \sin \left( {{\pi \over 6}} \right)} \right] = \cr & = 2\left[ {1 - {1 \over 2}} \right] = 1 \cr} \]بنابراین :
\[ \int\limits_{\ln \left( {{\pi \over 6}} \right)}^{\ln \left( {{\pi \over 2}} \right)} {2{e^x}\cos {e^x}dx} = 1 \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 508
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10046
گزینه ها
نظرات 0 0 0