تمرین : انتگرال $ \int {{{\ln x} \over {x\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} }}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int {{{\ln x} \over {x\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} }}dx} \]حل تمرین :
تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = {\ln ^2}x + 1 \]بنابراین :
\[ du = 2\ln x \cdot {1 \over x}dx \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {1 \over 2}du = {{\ln x} \over x}dx \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \int {{{\ln x} \over {x\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} }}dx} = \int {{1 \over {2\sqrt u }}du} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {{y^n}dy} = {{{y^{n + 1}}} \over {n + 1}} + C \ \ \ \ \left( {n \ne - 1} \right) \]بنابراین :
\[ \eqalign{ & \int {{1 \over {\sqrt y }}dy} = \int {{1 \over {{y^{{1 \over 2}}}}}dy} = \int {{y^{ - {1 \over 2}}}dy} = \cr & = {{{y^{ - {1 \over 2} + 1}}} \over { - {1 \over 2} + 1}} + C = {{{y^{{1 \over 2}}}} \over {{1 \over 2}}} + C = 2\sqrt y + C \cr} \]با توجه به نکته بالا :
\[ \int {{1 \over {2\sqrt u }}du} = \sqrt u + C \]اکنون عبارت معادل u را جایگذاری می کنیم :
\[ u = {\ln ^2}x + 1 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \sqrt u + C = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} + C \]بنابراین :
\[ \int {{{\ln x} \over {x\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} }}dx} = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} + C \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 508
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10041
گزینه ها
نظرات 0 0 0