تمرین : انتگرال $ \int {\tan x\ln \left( {\cos x} \right)dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int {\tan x\ln \left( {\cos x} \right)dx} \]حل تمرین :
تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = \ln \left( {\cos x} \right) \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10096 ) :
\[ {d \over {dy}}\ln \left( {f\left( y \right)} \right) = {{{f^\prime }\left( y \right)} \over {f\left( y \right)}} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10095 ) :
\[ {d \over {dy}}\left( {\cos y} \right) = - \sin y \]با توجه به نکته های بالا :
\[ f\left( x \right) = \cos x \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {f^\prime }\left( x \right) = - \sin x \] \[ {d \over {dx}}\ln \left( {\cos x} \right) = {{ - \sin x} \over {\cos x}} \]بنابراین :
\[ du = {1 \over {\cos x}}\left( { - \sin x} \right)dx = - \left( {{{\sin x} \over {\cos x}}} \right)dx \]می دانیم که :
\[ {{\sin y} \over {\cos y}} = \tan y \]با توجه به نکته بالا :
\[ \eqalign{ & du = - \left( {{{\sin x} \over {\cos x}}} \right)dx = - \tan x dx \cr & \Rightarrow \ \ \ \ du = - \tan x dx \cr} \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \left. {\matrix{ {u = \ln \left( {\cos x} \right)} \cr {du = - \tan x dx} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ \int {\tan x\ln \left( {\cos x} \right)dx} = - \int {udu} \]می دانیم که ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \eqalign{ & \int {{y^n}dy} = {{{y^{n + 1}}} \over {n + 1}} + C \cr & \Rightarrow \ \ \ \ \int {ydy} = {{{y^2}} \over 2} + C \cr} \]با توجه به نکته بالا :
\[ - \int {udu} = - {{{u^2}} \over 2} + C \]اکنون عبارت معادل u را جایگذاری می کنیم :
\[ u = \ln \left( {\cos x} \right) \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ - {{{u^2}} \over 2} + C = - {{{{\left( {\ln \left( {\cos x} \right)} \right)}^2}} \over 2} + C \]بنابراین :
\[ \int {\tan x\ln \left( {\cos x} \right)dx} = - {{{{\left( {\ln \left( {\cos x} \right)} \right)}^2}} \over 2} + C \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 507
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10037
گزینه ها
نظرات 0 0 0