تمرین : انتگرال $ \int {{{\ln \left( {\ln x} \right)} \over {x\ln x}}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int {{{\ln \left( {\ln x} \right)} \over {x\ln x}}dx} \]حل تمرین :
تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = \ln \left( {\ln x} \right) \]بنابراین :
\[ du = {1 \over {\ln x}} \cdot {1 \over x}dx = {1 \over {x\ln x}}dx \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \eqalign{ & \left. {\matrix{ {u = \ln \left( {\ln x} \right)} \cr {du = {1 \over {x\ln x}}dx} \cr } } \right\} \Rightarrow \cr & \int {{{\ln \left( {\ln x} \right)} \over {x\ln x}}dx} = \int {udu} \cr} \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10084 ) :
\[ \int {{y^n}dy} = {{{y^{n + 1}}} \over {n + 1}} + C \ \ \ \ \left( {n \ne - 1} \right) \]بنابراین :
\[ n = 1 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \int {y dy} = {{{y^2}} \over 2} + C \]با توجه به نکته بالا :
\[ \int {udu} = {{{u^2}} \over 2} + C \]اکنون عبارت معادل u را جایگذاری می کنیم :
\[ u = \ln \left( {\ln x} \right) \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {{{u^2}} \over 2} + C = {{{{\left( {\ln \left( {\ln x} \right)} \right)}^2}} \over 2} + C \]بنابراین :
\[ \int {{{\ln \left( {\ln x} \right)} \over {x\ln x}}dx} = {{{{\left( {\ln \left( {\ln x} \right)} \right)}^2}} \over 2} + C \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 507
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10035
گزینه ها
نظرات 0 0 0