تمرین : انتگرال $ \int\limits_1^4 {{{{\log _2}x} \over x}dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_1^4 {{{{\log _2}x} \over x}dx} \]حل تمرین :
می دانیم که ( کلید شماره 20002 ) :
\[ {\log _B}\left( A \right) = {{\ln \left( A \right)} \over {\ln \left( B \right)}} \]با توجه به نکته بالا :
\[ {\log _2}x = {{\ln x} \over {\ln 2}} \]بنابراین :
\[ \int\limits_1^4 {{{{\log _2}x} \over x}dx} = \int\limits_1^4 {\left( {{{\ln x} \over {\ln 2}}} \right)\left( {{1 \over x}} \right)dx} \]تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = \ln x \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10096 ) :
\[ {d \over {dy}}\left( {\ln y} \right) = {1 \over y} \]با توجه به نکته بالا :
\[ du = {1 \over x}dx \]با توجه به تغییر متغیر (Change of Variables)، حدود جدید انتگرال (Integral) را به دست می آوریم :
\[ u = \ln x \ \ \ \ \Rightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 1 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = \ln 1 = 0} \cr {x = 4 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = \ln 4} \cr } } \right. \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) و همچنین حدود جدید انتگرال (Integral) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \eqalign{ & \int\limits_1^4 {\left( {{{\ln x} \over {\ln 2}}} \right)\left( {{1 \over x}} \right)dx} = {1 \over {\ln 2}}\int\limits_0^{\ln 4} {u du} = \cr & = {1 \over {\ln 2}}\left[ {{{{u^2}} \over 2}} \right]_{ 0}^{ \ln 4} = {1 \over {\ln 2}}\left[ {{{{{\left( { \ln 4} \right)}^2}} \over 2} - {{{0^2}} \over 2}} \right] = \cr & = {{{{\left( { \ln 4} \right)}^2}} \over {2\ln 2}} \cr} \]می دانیم که ( کلید شماره 20003 ) :
\[ \ln \left( {{a^n}} \right) = n\ln a \]با توجه به نکته بالا :
\[ 2\ln 2 = \ln \left( {{2^2}} \right) = \ln 4 \]بنابراین :
\[ {{{{\left( { \ln 4} \right)}^2}} \over {2\ln 2}} = {{{{\left( { \ln 4} \right)}^2}} \over {\ln 4}} = \ln 4 \]در نتیجه :
\[ \int\limits_1^4 {{{{\log _2}x} \over x}dx} = \ln 4 \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 509
نویسنده
علیرضا گلمکانی
شماره کلید
10061
گزینه ها
نظرات 0 0 0