ترانهاده (Transpose) یک ماتریس (Matrix)
آرایه ای از اعداد را به صورت زیر در نظر بگیرید : *
\[ A = \left[ {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{12}}} & {{a_{13}}} & {...} & {{a_{1n}}} \cr {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & {{a_{23}}} & {...} & {{a_{2n}}} \cr \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr {{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & {{a_{m3}}} & {...} & {{a_{mn}}} \cr } } \right] \]این آرایه اعداد، یک ماتریس $ m \times n $ نامیده می شود که دارای m سطر (row) و n ستون (column) می باشد.
درایه $ {a_{ij}} $ به عضوی (element) اشاره دارد که در سطر i ام و ستون j ام از ماتریس قرار گرفته است. *
برای به دست آوردن ترانهاده (Transpose) یک ماتریس، باید جای ردیف ها (row) و ستون های (column) آن را با هم عوض کنیم. اگر ماتریس مورد نظرمان دارای نام $ A $ باشد، آنگاه ترانهاده آن را با نماد $ A^T $ نمایش می دهیم. *
بنابراین ماتریس ترانهاده $ A^T $ دارای عضوهای $ {b_{ij}} = {a_{ji}} $ می باشد و مرتبه (order) آن برابر $ n \times m $ خواهد بود : *
\[ {A^T} = \left[ {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{21}}} & {{a_{31}}} & \ldots & {{a_{m1}}} \cr {{a_{12}}} & {{a_{22}}} & {{a_{32}}} & \ldots & {{a_{m2}}} \cr {{a_{13}}} & {{a_{23}}} & {{a_{33}}} & \ldots & {{a_{m3}}} \cr \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr {{a_{1n}}} & {{a_{2n}}} & {{a_{3n}}} & \ldots & {{a_{mn}}} \cr } } \right] \]ترانهاده یک بردار ستونی (Column Vector) برابر یک بردار سطری (Row Vector) است و ترانهاده یک بردار سطری (Row Vector) برابر یک بردار ستونی (Column Vector) می باشد : *
\[ b = \left[ {\matrix{ {{b_1}} \cr {{b_2}} \cr \vdots \cr {{b_n}} \cr } } \right] \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {b^T} = \left[ {\matrix{ {{b_1}} & {{b_2}} & \ldots & {{b_n}} \cr } } \right] \] \[ c = \left[ {\matrix{ {{c_1}} & {{c_2}} & \ldots & {{c_n}} \cr } } \right] \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {c^T} = \left[ {\matrix{ {{c_1}} \cr {{c_2}} \cr \vdots \cr {{c_n}} \cr } } \right] \]