تمرین : انتگرال $ \int\limits_2^4 {{x^{2x}}\left( {1 + \ln x} \right)dx} $ را حل کنید (ریاضیات - Mathematics)
تمرین : انتگرال (Integral) زیر را حل کنید :
\[ \int\limits_2^4 {{x^{2x}}\left( {1 + \ln x} \right)dx} \]حل تمرین :
تغییر متغیر (Change of Variables) زیر را در نظر می گیریم :
\[ u = {x^{2x}} \]از طرفین ln می گیریم :
\[ \ln u = \ln \left( {{x^{2x}}} \right) \]می دانیم که ( کلید شماره 20003 ) :
\[ \ln \left( {{a^n}} \right) = n\ln a \]بنابراین :
\[ \ln \left( {{x^{2x}}} \right) = 2x\ln \left( x \right) \]با توجه به نکته بالا :
\[ \ln u = 2x\ln x \]چنانچه f و g ، توابعی از متغیر y باشند، آنگاه ( کلید شماره 10094 ) :
\[ {\left[ {f\left( y \right)g\left( y \right)} \right]^\prime } = {f^\prime }\left( y \right)g\left( y \right) + f\left( y \right){g^\prime }\left( y \right) \]برای هر متغیر (Variable) دلخواه y داریم ( کلید شماره 10096 ) :
\[ {\left( {\ln y} \right)^\prime } = {1 \over y} \]با توجه به نکته های بالا :
\[ \eqalign{ & \ln u = 2x\ln x \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ {1 \over u}{{du} \over {dx}} = 2\ln x + \left( {2x} \right)\left( {{1 \over x}} \right) \cr & \Rightarrow \ \ \ \ {{du} \over {dx}} = 2u\left( {\ln x + 1} \right) \cr & \Rightarrow \ \ \ \ {1 \over 2}du = u\left( {\ln x + 1} \right)dx \cr} \] \[ \left. {\matrix{ {u = {x^{2x}}} \cr {{1 \over 2}du = u\left( {\ln x + 1} \right)dx} \cr } } \right\} \Rightarrow \ \ \ \ {1 \over 2}du = {x^{2x}}\left( {\ln x + 1} \right)dx \]با توجه به تغییر متغیر (Change of Variables)، حدود جدید انتگرال (Integral) را به دست می آوریم :
\[ u = {x^{2x}} \ \ \ \ \Rightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 2 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = {2^4} = 16} \cr {x = 4 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ u = {4^8} = 65536} \cr } } \right. \]اکنون تغییر متغیر (Change of Variables) و همچنین حدود جدید انتگرال (Integral) را در انتگرال (Integral) جایگذاری می کنیم :
\[ \eqalign{ & \int\limits_2^4 {{x^{2x}}\left( {1 + \ln x} \right)dx} = {1 \over 2}\int\limits_{16}^{65536} {du} = {1 \over 2}\left[ u \right]_{ 16}^{ 65536} = \cr & = {1 \over 2}\left[ { 65536 - 16} \right] = 32760 \cr} \]بنابراین :
\[ \int\limits_2^4 {{x^{2x}}\left( {1 + \ln x} \right)dx} = 32760 \] 1
Thomas' Calculus Early Transcendentals - George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass - 13th Edition - صفحه : 428
2
Instructor's Solutions Manual Single Variable - Thomas' Calculus Early Transcendentals - 13th Edition - صفحه : 509
نویسنده علیرضا گلمکانی
شماره کلید 10056
گزینه ها 
نظرات 0 0 0